三角函数内容规律 `t+j^1@8
[9+_~ !r
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Jn?Q]M=
{I +9K
1、三角函数本质: 7
6&Z[Y"I
mujbw@W
三角函数的本质来源于定义 ?=@EJ+-i
i7'5>iG
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 py+nyq,
b E2d`y
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 E2/L}?
|p9bC`y
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 5M)H5!c
L^GD 4A_
推导: +n=33a&n?
X;~% i4_
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 P5s'l
b
G*_vR+w>-
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) e{= V[
e2kBJ.Rf
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }-A$|Ia]k
QD(&o3i
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 h=!&jx
)mPB4A]De]
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Ap
h
rt%4-l~
[1] .Sw1iG
M/iILEq
两角和公式 _XPX6LjHS,
"SSLw*
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB * mZS{h
"psC_{1Ha
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB s#Y}+\hfk
^nVD+P(FV
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _/ibey:
YZZ~\p}^'
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB GjQ |nc
9t!x6=
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =~_OMVGz
8
@=1WS
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) L0sobay|@
=wVTfM]t
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) X9V7^N1
!%*elhK2
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7E!o}xP
-ak'LKFq=p
倍角公式 L2 }rHTx
& #%lvjD
Sin2A=2SinA•CosA 2,)cw&;
Q#^eR=|do
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z%5R'}{%V
l8Zn1cATLP
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) X3/^ ~1Z
w0D2D(/i
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) +Dq`^R`
6>q11w
三倍角公式 O?9l]D_U5
X$u @AFAB
F~^%w]\
s`
]`GiIW
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~\2r_*
/vwI7V~C_
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +Wtp!@;c
&3WTH 3
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 6Bj[=[_2aC
VVc,Os+|*
三倍角公式推导 YJE%h4:e
^QcH=r
sin3a @cmJjt ?
H19u
=sin(2a+a) dGmET2 c
En3"*j![
=sin2acosa+cos2asina PlzV>
1/3B2cO4
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4,>?
lAkr
lOC+Yv
=3sina-4sin³a 9!fKS)E(l
v bsQ1NV
cos3a mU'R
3r\~@?@
=cos(2a+a) E^A3Dxl
c3Ev_5a
=cos2acosa-sin2asina ^Ner5U+
PrBg<Ns
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B SC.T8Z
/y;
\grB/
=4cos³a-3cosa 2v]"OlT^7n
W6,X)|Z
sin3a=3sina-4sin³a
*&{s(N5
\/~xX/g
=4sina(3/4-sin²a) ?7;;/
<
WD2mu`q
a
=4sina[(√3/2)²-sin²a] \bh*M=i
#G
olsN Os
=4sina(sin²60°-sin²a) ]4L15]
=|Dszk
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @Ux<;U
|Nwswh
z
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] FruaqbGNJ
PCXeaT.x
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [7|2
6w7G7Q
cos3a=4cos³a-3cosa -c+E
:~i<XTOqA
=4cosa(cos²a-3/4) )PMlY*
)9Tov'kHD*
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )!P737NI$
V}Zx{aiS8
=4cosa(cos²a-cos²30°) g=}5"n*6G
"C
YHsO$
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) PM=E6O|i
Xr @{?
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;^fLsQx*
&)_eY{'>`y
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]tmb=Nu8_
zl)dY90
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >uxUCq
]Ii$>i
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Dt_Z xWb
3\CBZ
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]#Aay[sQ
YCXc?'
上述两式相比可得 rw%A
Ra&r`J
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) DSbGZzH
LQ$Xxi.
.
半角公式 RMLS%E
z\[ |
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); DbAN"l#%)
GWW4K{h
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sX- T9
!,{FpI'
和差化积 i+<dm{P
! )_-Y?9
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1`:WQ Bmw
v fN 4,
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^"n`!w|QV
H#eE(R
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^xhK9>
MJ6r
{n
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] CrGs,L
u/aA@I tf
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) dFGPIU@8
erEEr=g=
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }U^@TxHh
F8 B{sL/4
积化和差 0pQc8w*
q1} -'{OH
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] D%3tKpEWG
/R+,t~d:
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] K(-)Y@"*
1K3bsJ9}
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
iBDdNw621
ArQ ii@N|
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] O[;IR:C
fqW}#1yXa
诱导公式 `n%9N
Y6j
#5QZ5.xc
sin(-α) = -sinα U6z
CL Kh,
^LJUWi7
cos(-α) = cosα
OJ%&[`Af
<)Qq4|`EMW
sin(π/2-α) = cosα
HNKUX'N
aN.P#cF=M
cos(π/2-α) = sinα _"K-W
g=VZ
sin(π/2+α) = cosα 4/pP?V g
]q1dTJ
cos(π/2+α) = -sinα N]Z_I![Rx=
4W7K/
sin(π-α) = sinα b.=`yuw
W_^tEM
cos(π-α) = -cosα UAK:5TJ"J
nn1>ZW?x]X
sin(π+α) = -sinα w1NJ$1
}$hmlKB
cos(π+α) = -cosα GW)P_5|
P~AI-ml
tanA= sinA/cosA uxdBzg W_d
T{>okD
tan(π/2+α)=-cotα {E-7%|7vwO
j a(NNHr{
tan(π/2-α)=cotα toF {#11m
]{f sF\
tan(π-α)=-tanα JR5~jVx
$^.SenME
tan(π+α)=tanα BxqXSE6vv
KU98YIoF
万能公式 <O/\G[#3
&4Dk>[S\
PTT1!|
Ae;IV7ln
其它公式 @</&Oq`!
Uz0 e*Ex
(sinα)^2+(cosα)^2=1 FAdE"BGo
<,
s>7o@
1+(tanα)^2=(secα)^2 f.Pk@-
<2c
Hs
Jo
1+(cotα)^2=(cscα)^2 Q7l!$+"
tx]IeC?
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "m8ZtX}PzW
X?DqTL6d
对于任意非直角三角形,总有 r*BgS5TL
B 7L^1mH!
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^ZDLO^f~_A
L4xM[81
证: Y!C9^:^<@*
Tmqz,ld
A+B=π-C #/+ps Io
x\W ({c%^Y
tan(A+B)=tan(π-C) >A9:Uc"xL
iO68^RC|
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BY/g}
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`Hu'@W xEk
整理可得 ^Bg#Cm5|
8f6vszI!
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _XJk/W-
^Q0U5vYU
得证 Xkm.kaTT
E>qx7*_
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .S q[g_
<aC2
Hf
其他非重点三角函数 <t\2 \Tr\
GkZgxVN
csc(a) = 1/sin(a) 8Aaf\Xv'
dW,9)Jg5
sec(a) = 1/cos(a) ^62P_&3xs
QPZ#&/ R
*&D |