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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 5j}bm;;  
PcY0k_kk  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. l'U pS  
d 1|c*!R  
　　1、三角函数本质： A9hH ME-  
p? Jd*Z  
　　三角函数的本质来源于定义 ze";Jpn  
hf? =E  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 @P!lz=5#=  
f{"!.Oo  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Z@{ i/)ab  
xi*h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： t-v)|>  
3vA9*Kpp  
　　推导： K2Dl.:1n  
dLVv8%ByU^  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s oTc]N.  
!n Pt0iB  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -SS# Ihq-  
OL*oWrPa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 2tPq\A  
2xZtOCH@  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 p#6tN0  
?EK<s9<?V  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )r!*ihpen  
7rXo /i\5  
　　[1] 7c_]jkO  
\S}y6lS  
　　两角和公式 {r~.s)SRB  
eON0J38u  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB q| %2^Nt>  
.)Sq-  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  W :G6<8b  
!:xa3uy D  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 31H&8  
`Af'Y_D|~  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB CBf+7v&|  
iKRv0a,Z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) |(O/rAJ?2  
BPuxKW"*  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0)SwB1rR  
8$spZ|\h  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  N~,t6\  
I:Zils3Z  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) fTs1 I(  
cNBIz>S  
倍角公式 _h'{I2lr  
8"0c (a  
　　Sin2A=2SinA•CosA l9UT#(.=  
@!RM_c   
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Yo?3Ys|  
#`^xFl?  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?S0pP]Y  
d@"xGRH*[  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） n nyP6w}0  
cRIK  
三倍角公式 F#QZ   
*{Puw8r  
　　 1 KZ*0  
6# R8b+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) /(s<qU2r0  
> \Sx O6+  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) wbN[OEMi_  
F m4wX H  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) gACFm;}!  
w`4!&5p [R  
三倍角公式推导 =6 /?JlP?  
IU\zfPn$`?  
　　sin3a y_q NKwpN(  
=:n/ld-lB  
　　=sin(2a+a) e! "  
>A^tbQyiWn  
　　=sin2acosa+cos2asina z$W;mq.9 D  
(.kiUAp<^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina )lB\]P"}%q  
[c    
　　=3sina-4sin³a (f><_`FH  
N0hk3Krf  
　　cos3a {KX&/]f)  
pqa>?l  
　　=cos(2a+a) \kKz)BQK  
Z^e l\zoK  
　　=cos2acosa-sin2asina 2B\izg d  
,QjoF"p  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa mByc fd6  
Ih 1  
　　=4cos³a-3cosa h-;("1>>  
_ B[&Q7  
　　sin3a=3sina-4sin³a [u=?!$~'  
b7O>59P  
　　=4sina(3/4-sin²a) 5~HNw@c  
z?a T>k `8  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] [c= f-V  
\I3LG; *  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) vNgKAI%F  
OkV?]l@OY  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) v5($dS#t  
>C9Bm4m#+  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] KAk]~|R@'  
~\]{G(~<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) N3F-h3Q+  
t<OHO M*u  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ?o3 1aet6  
j<{nix  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1^R!8.4{  
Kf_,0wGg  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] BP0;1x  
 )=Pk*uE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) I# H*v<  
(q[[9t  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 8v\zY?`8Z  
Nz^D!{n{  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *MQ0H a T  
FL:]k  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) :VK5,m&  
7 46a*|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ,x 60+"b  
|M8#1+A  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j|"`LQ  
. B^+5  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) bcqidlL  
WQ*~bY(,6  
　　上述两式相比可得 B-,VnQ '.:  
`M^@K=V  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8SAnEu  
AJOQ%D6@  
半角公式 'd0}jv3  
.10)c!cV  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); O;a$"\ +h  
nb7,gI!#E  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. :1=^i21  
G>;IJEt  
和差化积 uNL_zl gz  
BN.G,VC|Mb  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] o:cev~bg~  
iD*[OY%EW#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rN Y- Pp  
dD W{0[  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] h llK4biB  
:X\Od 4  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^eH):"*  
?AfaI$`e  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {lmsr/Xd  
}CN% bdP  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6(h2J(7  
5:N$<:  
积化和差 ? V~2 4  
S?~K!gE-  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] sx8lJX"  
f9}orE  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] tUg1sT;[  
^< > =q  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Vn `tWEo  
fo2Btk./9  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] o MmBiP-(n  
O`rQnOS}  
诱导公式 FC  XGB  
CIxn2w&J  
　　sin(-α) = -sinα 44"H?81R  
E@P~8D<q  
　　cos(-α) = cosα YxR8X }  
[l.' |2  
　　sin(π/2-α) = cosα ?e{8g~]Y  
LZS!@zhi  
　　cos(π/2-α) = sinα P>WI8]e~  
}ycn2_M!  
　　sin(π/2+α) = cosα p!\Q*|"  
|LI:OZ>`Y  
　　cos(π/2+α) = -sinα Ix0   
n;|1{tnIn  
　　sin(π-α) = sinα 5W9=8~./h  
Y|cU\A  
　　cos(π-α) = -cosα _;Vp0m   
o,8o{/  
　　sin(π+α) = -sinα hj'bo,  
]'h 1oK}v  
　　cos(π+α) = -cosα |_Ybk  
BZ.x,<zTn  
　　tanA= sinA/cosA ~ `L+,Q  
?6/*iL$O`  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Hfck eqc&  
EQKc.jtV  
　　tan（π/2－α）＝cotα u{9IpjF4  
|a wO#R0  
　　tan（π－α）＝－tanα >ov;]p_E<  
*|_R@~/)G  
　　tan（π＋α）＝tanα /`@ e;g}  
uxoPe]t%  
万能公式 <\IjQ{:  
h6dJ4 aI  
　　 TG6TC.x`  
FCQML7m|  
其它公式 x4[p[G^6  
>2 %Khfu0  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X8,Osz7R  
Yj16=w-9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 G yMK@@  
9M?@zA%  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 2 7q&2 u  
)"\&(pp?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !B~8E/c&  
dMDGY0tLO  
　　对于任意非直角三角形,总有 cl 6i{  
Y/r@3k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bEnhbo  
xGgL*4ta  
　　证: {\L\b,]>  
!Nz%{Lm-  
　　A+B=π-C S%K6CjB@  
.j2+-7b   
　　tan(A+B)=tan(π-C) )P)A$u_  
V<{'aa0P  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BOg /F  
dZ}E88^n4  
　　整理可得 H_NvN*]  
I]X>o5.mIz  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Di`ZIVx7  
. 0]\N<   
　　得证 :i5VX^.q  
J [B}3'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 AaX Q.M9  
QBa6-KH-  
其他非重点三角函数 upXgJK9  
@o]4 4h5  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?H`$vZA  
@gE]D#sbw  
　　sec(a) = 1/cos(a) yYl*L <7  
3K(y 3^  
　　 MFc/E~|ny  
!!;l:]V{/C  
双曲函数 D<=tb}V  
a&Uhi{V@}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 eo>1@M'7  
yxc*w=I~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 (J](&V8ff2  
.640-"zh  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) })Qz.E/Jt  
=+}T@0z1U  
　　公式一： N:,(9{ZH  
>4ayf.  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： JD8H@T}]  
5bXSxcNY  
　　sin（2kπ＋α）= sinα V /k_Fn7  
Vj(boCs  
　　cos（2kπ＋α）= cosα (;YnylGf  
,3KP%_~k  
　　tan（kπ＋α）= tanα =K%Eyl(_  
?Q-8G+^Y  
　　cot（kπ＋α）= cotα m2rDfr?1M  
`X71 lc  
　　公式二： u%L:wKf"0  
4Y$H$2B ~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ("Oe3\o  
IoUv[*o  
　　sin（π＋α）= -sinα [r#~{ceG  
,s}loc\dZ  
　　cos（π＋α）= -cosα 67S<S\  
uKX$L(r#~w  
　　tan（π＋α）= tanα x)5vvas  
m9d 6@EE  
　　cot（π＋α）= cotα dNKB&6bs  
^ P(7 %;Y  
　　公式三： nY\cQT\r  
S-<KE{=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _zy9Mgx  
B'C (`6  
　　sin（-α）= -sinα 95IF# ZNu  
M=*saX  
　　cos（-α）= cosα #"y/Qy y0*  
3e$ {K  
　　tan（-α）= -tanα xF<#S, w  
~L :T  
　　cot（-α）= -cotα W&bC @Al  
,~%/)V}  
　　公式四： }3u(D-D  
CbnEmD[  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Nf+ }*e"~u  
,DpC `  
　　sin（π-α）= sinα 2 WCnas4#  
"X?s@kC$  
　　cos（π-α）= -cosα I|tCi@>  
r-}&Z !  
　　tan（π-α）= -tanα QtD"j2T  
r|cA8"RHg  
　　cot（π-α）= -cotα h4LY/Nc]u  
:B%WGP0  
　　公式五： tS|sFZq0#  
C^}t=,  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 3nOOo~}  
L >?~-|/  
　　sin（2π-α）= -sinα }B%ela  
;(p:&iS3'  
　　cos（2π-α）= cosα |$Z~N0B  
TFvyyGy|  
　　tan（2π-α）= -tanα @Umk;O;f  
@)f#xP3V  
　　cot（2π-α）= -cotα 6A`2=HDD*  
QEY ?Cdc3  
　　公式六： {hrs-T2=  
[lNB- Q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： v{ QG  
np:Ck U  
　　sin（π/2+α）= cosα `Tl}|%  
)7t +\  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;; e%   
U_00QO+{  
　　tan（π/2+α）= -cotα bY?E( wB=f  
g SNA8z  
　　cot（π/2+α）= -tanα QKvy|  
/d3,sJ:o  
　　sin（π/2-α）= cosα _G{:^  
k ,sV+s  
　　cos（π/2-α）= sinα "a=oSg  
G-'Gc/  
　　tan（π/2-α）= cotα <pdO Z  
AwG|F/ds  
　　cot（π/2-α）= tanα w.dR<mbp&  
R2,S`py,^  
　　sin（3π/2+α）= -cosα bZv^  gO  
Jb7*K  
　　cos（3π/2+α）= sinα y_S3aSKpEV  
xB _3?gKw  
　　tan（3π/2+α）= -cotα \izAy]8>*3  
D)wFb{ @j  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Qe#[QALP:  
E ,=Uk88S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα P}V:6E`[  
n(AV~?yO  
　　cos（3π/2-α）= -sinα W+W"c;xu  
s`|`#/B(zT  
　　tan（3π/2-α）= cotα #CSH[R=;,  
2C{F-/s^X  
　　cot（3π/2-α）= tanα Ag2;%5'K  
*TrTsV\B  
　　(以上k∈Z) 0 5a^A  
ZA?O3hh=x  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 K"&iq:Sy  
FKQ_@`h$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  KAq +jI*  
)ums!u  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } eaX +hfW  
8DQJ|56'  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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