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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 `t+j^1@8  
[9+_ ~!r  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Jn?Q]M=  
{I+9K  
  1、三角函数本质: 7 6&Z[Y"I  
mujbw@W  
  三角函数的本质来源于定义 ?=@EJ+-i  
i7'5>iG  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 py+n yq,  
b E2d`y  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 E2/L}?   
|p9bC`y  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 5M)H5!c  
L^GD 4A_  
  推导: +n=33a&n?  
X;~%i4_  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 P5s'l b  
G*_vR+w>-  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) e{= V[  
e2kBJ.Rf  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }-A$|Ia]k  
QD(&o3i  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 h=!&jx  
)mPB4A]De]  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Ap h  
rt%4-l~  
  [1] .Sw1iG  
M/iILEq  
  两角和公式 _XPX6LjHS,  
"S SLw*  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB *mZS{h  
"psC_{1Ha  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  s#Y}+\hfk  
^nVD+P(FV  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _/ibey:  
YZZ~\p}^'  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB GjQ |nc  
9t!x6=  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =~_OMVGz  
8 @=1WS  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) L0sobay|@  
=wVTfM]t  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  X9V7^N1  
!%*elhK2  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7E!o}xP  
-ak'LKFq=p  
倍角公式 L2}rHTx  
& #%lvjD  
  Sin2A=2SinA•CosA 2,)cw&;  
Q#^eR=|do  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z %5R'}{%V  
l8Zn1cATLP  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) X 3/^ ~1Z  
w0D2D(/i  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) +Dq`^R`  
6>q11w  
三倍角公式 O?9l]D_U5  
X$u @AFAB  
   F~^%w]\ s`  
]`GiIW  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~\2r_*  
/vwI7V~C_  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +Wtp!@;c  
&3WTH3  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 6Bj[=[_2aC  
VVc,Os+|*  
三倍角公式推导 YJ E%h4:e  
^QcH=r  
  sin3a @cmJjt?  
H19u  
  =sin(2a+a) dGmET2 c  
En3"*j![  
  =sin2acosa+cos2asina PlzV>  
1/3B2cO4  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4,>? lAkr  
lOC+Yv  
  =3sina-4sin³a 9!fKS)E(l  
vbsQ1NV  
  cos3a mU'R  
3r \~@?@  
  =cos(2a+a) E^A3Dxl  
c3Ev_5a  
  =cos2acosa-sin2asina ^Ner5U+  
PrBg<Ns  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa BSC.T8Z  
/y; \grB/  
  =4cos³a-3cosa 2v]"OlT^7n  
W6,X)|Z  
  sin3a=3sina-4sin³a *&{s(N5  
\/~xX/g  
  =4sina(3/4-sin²a) ?7;;/ <  
WD2mu`q a  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] \bh*M=i  
#G olsN Os  
  =4sina(sin²60°-sin²a) ]4L15]  
=|Ds zk  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @Ux<;U  
|Nwswh z  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] FruaqbGNJ  
PCXeaT.x  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [7|2  
6w7G7Q  
  cos3a=4cos³a-3cosa -c+ E  
:~i<XTOqA  
  =4cosa(cos²a-3/4) )PMlY *  
)9Tov'kHD*  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] )!P737NI$  
V}Zx{aiS8  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) g=}5"n*6G  
"C  YHsO$  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) P M=E6O|i  
Xr@{?  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;^fLsQx*  
&)_eY{'>`y  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]tmb= Nu8_  
zl)dY90  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >uxUCq  
] Ii$>i  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Dt_Z xWb  
3\CBZ  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]#AayQ  
YCXc?'  
  上述两式相比可得  rw%A  
Ra& r`J  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) DSbGZzH  
LQ$Xxi. .  
半角公式 RMLS%E  
z\[ |  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); DbAN"l#%)  
GWW4K{h  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sX-  T9   
!,{FpI'  
和差化积 i +<dm{P  
!)_-Y?9  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1`:WQ Bmw  
v fN 4,  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^"n`!w|QV  
 H#eE(R  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^xh K9 >  
MJ6r {n  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] CrGs,L  
u/aA@Itf  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) dFGPIU@8  
erEEr=g=  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }U^@TxHh  
F8B{sL/4  
积化和差 0pQc8w*  
q1} -'{OH  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] D%3tKpEWG  
/R+,t~d:  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] K(-)Y@"*  
1K 3bsJ9}  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] iBDdNw621  
ArQ ii@N|  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] O[;IR:C  
fqW}#1yXa  
诱导公式 `n%9N Y6j  
#5QZ5.xc  
  sin(-α) = -sinα U6z CL Kh,  
^LJUWi7  
  cos(-α) = cosα OJ%&[`Af  
<)Qq4|`EMW  
  sin(π/2-α) = cosα HNKUX'N  
aN.P#cF =M  
  cos(π/2-α) = sinα _"K-W  
g=VZ  
  sin(π/2+α) = cosα 4/pP?V g  
]q1dTJ  
  cos(π/2+α) = -sinα N]Z_I![Rx=  
4W7 K/  
  sin(π-α) = sinα b. =`yuw  
W_^t EM  
  cos(π-α) = -cosα UAK:5TJ"J  
nn1>ZW?x]X  
  sin(π+α) = -sinα w 1NJ$1  
}$hmlKB  
  cos(π+α) = -cosα GW)P_5|  
P~AI-ml  
  tanA= sinA/cosA uxdBzg W_d  
T{>okD  
  tan(π/2+α)=-cotα {E-7%|7vwO  
j a(NNHr{  
  tan(π/2-α)=cotα toF{#11m  
]{f sF\  
  tan(π-α)=-tanα JR5~jVx  
$^.SenME  
  tan(π+α)=tanα BxqXSE6vv  
KU98YIoF  
万能公式 <O/\G[#3  
&4Dk>[S\  
   PTT1!|  
Ae;IV7ln  
其它公式 @</&Oq`!  
Uz0 e*Ex  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 FAdE"BGo  
<, s>7o@  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 f.Pk@-  
<2c Hs Jo  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 Q7l!$+"  
tx]IeC?  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "m8ZtX}PzW  
X?DqTL6d  
  对于任意非直角三角形,总有 r*BgS5TL  
B7L^1mH!  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^ZDLO^f~_A  
L4xM[81  
  证: Y!C9^:^<@*  
Tmqz,ld  
  A+B=π-C #/+ps Io  
x\W ({c%^Y  
  tan(A+B)=tan(π-C) >A9:Uc"xL  
iO68^RC|  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BY/g} d|  
`Hu'@WxEk  
  整理可得 ^Bg#Cm5|  
8f6vszI!  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _XJk /W-  
^Q0U5vYU  
  得证 Xkm.kaTT  
E>q x7*_  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .S q[g_  
<aC2 Hf  
其他非重点三角函数 <t\2 \Tr\  
GkZgxVN  
  csc(a) = 1/sin(a) 8Aaf\Xv'   
dW,9)Jg5  
  sec(a) = 1/cos(a) ^62P_&3xs  
QPZ#&/ R  
   *&DCDqx  
(3APoR  
双曲函数 4SNGvx|)  
#=F,iI6  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ~5K$u#yhN  
/p\[ 38a,G  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !"]a]O IU  
4QVl/ [R  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) AcKu3&  
Z8TkC/1q6  
  公式一: :p~BsI0n!  
|P]W["9b~  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: j^oBW| G  
ay^X,<.e  
  sin(2kπ+α)= sinα h3F%"}k5  
`S_pf2c{w  
  cos(2kπ+α)= cosα Ee"\k[  
s?2yOtN  
  tan(kπ+α)= tanα w|SL  
| VTsh1.  
  cot(kπ+α)= cotα u `-*WA_-  
.wrd!8  
  公式二: 7k@rM/7  
z3 q~w"Q,  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: .Jr !l)(  
_wA= zaYm  
  sin(π+α)= -sinα d4t ALD  
TEUO*3Qk  
  cos(π+α)= -cosα P(W)[-  
&DG0T8B^  
  tan(π+α)= tanα XP9|JG,  
ff 9VMp^)  
  cot(π+α)= cotα |E]x(!(/  
W@m%{uDX|  
  公式三: a<rD*fF  
 i!a(Ez!  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: #fpC5/O  
+t,0*Q*%7  
  sin(-α)= -sinα :C[YWp  
v_QISE'?P$  
  cos(-α)= cosα y@p@[B y  
,3i0ncrR<(  
  tan(-α)= -tanα \C\d@\  
_dn$}hF *=  
  cot(-α)= -cotα !Ae:Pi  
%j/wc0B@  
  公式四: LI=r&94Co  
*hW 57rmk  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: soN(?h8  
l8NbL)T7  
  sin(π-α)= sinα _p3I5i_  
RRLB*3  
  cos(π-α)= -cosα G+Z5H  
`=fv9cdX  
  tan(π-α)= -tanα ,jW%sbT  
Sn2OX$. Zq  
  cot(π-α)= -cotα I|Vpr.br  
WlKu1=8E  
  公式五: vfeG wm  
^|2f4ksC  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: -Oo5&  
Bs-z='ng  
  sin(2π-α)= -sinα LwB\sGcUl  
t-F@edR/  
  cos(2π-α)= cosα |Bku@b@n  
sUM{k(  
  tan(2π-α)= -tanα W tZ9U  
C@4*w5 \  
  cot(2π-α)= -cotα RGALhU  
FxG= Q   
  公式六: ne_}3(  
4 ZP1_k =  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: a]qRh4a<%  
AS/rc[ST  
  sin(π/2+α)= cosα Y Fg~zEme  
%UI 3 8  
  cos(π/2+α)= -sinα W0}>D{X  
VEocs5%yW  
  tan(π/2+α)= -cotα oUZ4 *E*  
(F4@z3D)=  
  cot(π/2+α)= -tanα ?&']P:6v  
Tp-A'M>w  
  sin(π/2-α)= cosα /!dnX,f;,  
V55Jc|`#v  
  cos(π/2-α)= sinα X~S2 n  
V#4uk^t  
  tan(π/2-α)= cotα c^kAt14<  
#0fci  
  cot(π/2-α)= tanα {VsUX(5&`  
(!yDl  
  sin(3π/2+α)= -cosα 4#D !x2d  
|Z(WCo@  
  cos(3π/2+α)= sinα ?tG:L8 >  
t^/^X l5  
  tan(3π/2+α)= -cotα p:u)<Ec  
.5)r ;z]  
  cot(3π/2+α)= -tanα xB`k`l*  
-vV] A+]  
  sin(3π/2-α)= -cosα )cZy ;y  
6^P!n/  
  cos(3π/2-α)= -sinα 5NQM%7Si  
<GmaujqR  
  tan(3π/2-α)= cotα Fp>]6OZA_  
$ac>B=1  
  cot(3π/2-α)= tanα ;2.=RQC8  
 Z'E (  
  (以上k∈Z) JoQ g`!)*  
sQ;agc  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P5FYs0GdP  
+k; fw(Wh  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *%Ch!#mHn  
SZ$'Ys`  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } aOO<Z8"SB  
+e(pdAxv  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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