日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 sF^U C[O  
+|(Lsv-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. gO$";-Ix  
kZC> *,P  
　　1、三角函数本质： H mGMK|^  
%eIM&;|  
　　三角函数的本质来源于定义 no$DI  
[@7J LX1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0 ~|5<  
koyb&  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 p]9e by  
rHSq TBQ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： I[ at%|  
4k"A=-^J  
　　推导： yuK~U(xPV  
G >K(WKS  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 UX\;]%  
2c 6_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \<+?yd-@  
+{ ^k@0f  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) E}!:1P  
H~bU f.ok  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 L7TO,R _  
^JLlk%/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）  )`.Ft8.j  
(td%/H%Us  
　　[1] }m:J @M'  
 cCP9_B*  
　　两角和公式 (c^OzsX{  
#XsLpc  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >{f"gYpUtn  
9{0xt  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ungt-Txtf  
GlBT ;}x\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g B.R{Wl  
QHBi '.3  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [m6u^fW:1  
Hk\]L5GtCd  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) B&0G  
-/#z} \\{Y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) <\.9loEQ.  
1 86b:okrn  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <T ,|I  
A,G^J%<cz  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) |'&-0I  
{[0" %ou  
倍角公式 .>N[_F%  
rhYWH^z'  
　　Sin2A=2SinA•CosA *{B2q!]H  
P[B<([$  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 BP0^M  
!=p.Ze  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ru]=7t  
,|\(}l+  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） #_|`t8C48  
O|/g *2M6  
三倍角公式 Hk|_rj2  
pU;l2WZ  
　　 'i(CG>\  
"P[;RCBu  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (vdRISle  
W4TG<y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n[(/sCZVF  
R49Lse<  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) t*sn$#NU  
!|dmj =`  
三倍角公式推导 IW(@z<u9  
UMb%Qr  
　　sin3a :FH"pv}+  
[v" _R4qy  
　　=sin(2a+a) p G'Vqir  
%Zz,:!B2  
　　=sin2acosa+cos2asina  B.cU" b  
sj<p7XS*{I  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8-sDUlD2E  
78lMdPwGZ  
　　=3sina-4sin³a 78!32H2  
"S^*,}oLK  
　　cos3a 6 l^ya0/  
Etip7T  
　　=cos(2a+a) Ue'n(kk  
^ \ 'zU~  
　　=cos2acosa-sin2asina wMUpUEswC  
UQZ et?9a  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 'F #=Nm_  
0NC?X^1  
　　=4cos³a-3cosa dE][FLKF^[  
J6.)%3P  
　　sin3a=3sina-4sin³a &z;I4%  
r:_^6r)\  
　　=4sina(3/4-sin²a) acru/b  
rpiIq B/pn  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] f'h~oHO  
T_O  [-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) C;LfcT  
!BU7.M5abN  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) v+^;qt>:Q  
<<Z9<2  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }L%N^f^y*  
|6jHnf  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [HaZ$tA f  
zVJ<`&Cx)  
　　cos3a=4cos³a-3cosa qp>yn#BRb  
RDIC~rpq  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }0$ z_I)  
n;AYE y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] %S :[`\  
7O5\b D7  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) &ujk EXE  
tqep5s>  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) *y%F"O S  
d5m']K8   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ]tdS ah  
{&r7H_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `:Y{Rt0  
!oTFdqU  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4`^UBU pz  
^+! #}P  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;dxc pA  
*!, OC-oui  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) F^DU_`w:S  
be)_tk<Kl  
　　上述两式相比可得 mgbkGG60S  
9hBnhy  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) > `n=eZW  
:\\5BwH  
半角公式 Jy9v-x  
M4x#~$*  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ll6Ej^>``  
h99BcI  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. i0[z1I)@  
whS0Wt  
和差化积 V_4p+ pf  
jtj\?Lm'2  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C'pjkxIm  
Ebj\ `  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QV,:3CU  
VOf|]D=  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] AphUI   
bRiJW)  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xtgV+1Tcl  
,7V?Gm  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) K YdRk!wv  
(Yu$NxB`4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &RrQ{E} Zv  
PxO=W)0  
积化和差 aN&]?vJ&7  
E  v5_u  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] jn90vQl0h  
xN6_ [M  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] S?aVAh ^M  
)7?>Lz9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] O (S8rGH  
h9X MB  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %Dp #Oyc  
-"%% *u[2  
诱导公式 4T82 Fweh  
W,e:Dte%  
　　sin(-α) = -sinα YA7b<ync  
!vvKj,i  
　　cos(-α) = cosα L@*bx  
OrGN1+Er  
　　sin(π/2-α) = cosα .yH^6|aS  
"tx{ll  
　　cos(π/2-α) = sinα i~gv4Yc6L  
-Or0}z   
　　sin(π/2+α) = cosα KQ'U]D  
6%&79\x!  
　　cos(π/2+α) = -sinα (t@6_^  
i"GF M(R  
　　sin(π-α) = sinα 6N=)Uz+1  
"TI&P%P~?  
　　cos(π-α) = -cosα $Knsoh03  
)0II_'H,  
　　sin(π+α) = -sinα )]5j}',i[  
'%}y[GPB  
　　cos(π+α) = -cosα bN(C9qau_  
`'-X/:2YC  
　　tanA= sinA/cosA a=e0ixhN  
ltW.=se]b{  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =,d !J`{  
$4kb/z-Q  
　　tan（π/2－α）＝cotα  * 9] Dm  
z75c b  
　　tan（π－α）＝－tanα [U j{  
w'nSYyWL  
　　tan（π＋α）＝tanα q/e +(l  
j$>C@'Vt  
万能公式 i(6iaRcC  
PeEA  2[  
　　 8A>n`o   
_+lFN)"M  
其它公式 ;#*(oQ  
8*UE!ix  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 KR-tz<  
= pq=Yfw  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 S5H*/-!~  
_KqQ:AU  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 m"`FR^0Oi  
4*ZnN $  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `:IvAZsX  
J-<l6^m  
　　对于任意非直角三角形,总有 beJ<T  
=@Bo55 iq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC h&KoOt6P#Q  
]j<\uT~yO  
　　证: s T} ={q  
]~}#ZMpH  
　　A+B=π-C q3&B,edp2  
iY/bA'@  
　　tan(A+B)=tan(π-C) P`p gXX K  
D/ 4M'e^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d)q#TOgrJf  
AViXd' z  
　　整理可得 Ci3f"Hx  
S{ 7pw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D<Cc+5  
@T,B(`5  
　　得证 yv'd%uyY@  
O&  RL[  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;*\{*O ;rT  
n[1YBN  
其他非重点三角函数 p`CjwU9.  
NS (y?B  
　　csc(a) = 1/sin(a) t$:SY?k/Y  
zq@] b+  
　　sec(a) = 1/cos(a) ]d6e6  
"1>b9u  
　　 odt*9&l  
nsbP'8^  
双曲函数 M?ERg;cS  
S&{a.H|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $ i  
nFgB )IZ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 J b!pQE  
p8 ^kV^  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Px]8Oa[KG  
= nU.Z=  
　　公式一： Z8VAkDl  
mme DBFI  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Ka+`X1  
,cJYINHNK  
　　sin（2kπ＋α）= sinα vY2-+  
pdLbGJBP6  
　　cos（2kπ＋α）= cosα (?'wD\Q3nh  
x3=}O(  
　　tan（kπ＋α）= tanα Nx}{:+( 6  
O1PlcpI  
　　cot（kπ＋α）= cotα iWqGq|k^  
w>9:ubp@*  
　　公式二： Su=qovmFF  
dM f8&E @  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ujr0L#/3Fc  
j(j Y4tn  
　　sin（π＋α）= -sinα uq|F0g)  
R P~(<|  
　　cos（π＋α）= -cosα %VX)$Q  
?NJQ W`+8v  
　　tan（π＋α）= tanα RT{ +z1HLq  
m6mi -qb  
　　cot（π＋α）= cotα 7HB\  
fmH:`')_d  
　　公式三： }Z+AH ,Q  
@Dl(._k  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： H[0 @eY  
)4[p|={/#  
　　sin（-α）= -sinα An~pH i  
/"Vbo %  
　　cos（-α）= cosα P`"K gU`f  
<FMg>Q)Wa  
　　tan（-α）= -tanα \hoLG1-ih  
+*5(3K'{*  
　　cot（-α）= -cotα >m}7Z6rW  
pBjP:I8\<  
　　公式四： M~!eHAY  
d:=k(l  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： |'gf/'*VE  
("v)!:jp  
　　sin（π-α）= sinα ;gQYt)5X  
>t. ]5Kbu  
　　cos（π-α）= -cosα |\4j{yOs  
2- a.<ZS  
　　tan（π-α）= -tanα ;7:6Jh,ln  
rLZe=nX;  
　　cot（π-α）= -cotα i7@"&  
#M2APR`}  
　　公式五： xbk*rM  
=*& R-EG  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： <8*Pm $ U  
D6$nZQe  
　　sin（2π-α）= -sinα ^%N`UT=7 `  
fFD\OdL&  
　　cos（2π-α）= cosα J54iW]%  
Mms>n0fzt  
　　tan（2π-α）= -tanα .Z478.@h/  
}9 >V  
　　cot（2π-α）= -cotα 'c73  
D_@W f  
　　公式六： 4|g[i*{.  
e>s. D  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： dQ(H  
]<oY;J??F  
　　sin（π/2+α）= cosα [Ahd<V_  
>NT2JWfC  
　　cos（π/2+α）= -sinα 7:N ]! u;  
un &mEQv  
　　tan（π/2+α）= -cotα m PLn;#7`  
 x}']eM  
　　cot（π/2+α）= -tanα Zg)p{-fn!  
(ZX?ha%  
　　sin（π/2-α）= cosα ,va>w{n  
7# _K07<  
　　cos（π/2-α）= sinα 7 -IL.E  
k\adY |u  
　　tan（π/2-α）= cotα <gewtb  
M0b^Pw~U  
　　cot（π/2-α）= tanα fz 0`J-  
>|7&=m_~  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0dLln7KKM  
o2 nFNUy  
　　cos（3π/2+α）= sinα (J =,e-`  
5mhZhh}/V  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]$iBf*0m!  
:]q.%8n4=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4f Slb@  
D@.,R -d  
　　sin（3π/2-α）= -cosα f'905?=  
e10"pfl#}e  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9c#G F<  
#E_ GHt  
　　tan（3π/2-α）= cotα }aMbN-282  
IOY^'1PnC  
　　cot（3π/2-α）= tanα jn ~B-,jj  
!Sd%X   
　　(以上k∈Z) o2":S7U  
(ik&~.: z  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ,]^O>yOp  
c.@ TIW)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = d ]sz4u1  
ie]~L| n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +f6k_\Hz]  
 Fm'{;[v  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15493) |  收藏