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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 H(\@t s>5  
MsH;S\)k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. R} NIRs).  
`yNW"tF  
　　1、三角函数本质： 7_#0`O   
N /j^S4{  
　　三角函数的本质来源于定义 "|a_,Z  
KPy]DV~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 N2/S#x;:1$  
m!8@%=q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \8NQ<wK$  
tmKL(].G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Hmh[`7J  
ec %n.xv?  
　　推导： P nyDYO  
G|1\'~p  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 6W; 9N  
rHoM0d-B  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 7zj8 !  
Z7bVI  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ZNDcd?[D!2  
E-~<WFLm  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Cvdoh8=  
aY={wqzN  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 4$EzSiY  
M%r"D;J  
　　[1] t<'zJfu.9  
S3TOsY|  
　　两角和公式 A#j]= ![  
 .F8U(v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB x*jJ%_Q2\  
/f4LM z{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  5Zq-!fqT}  
]iN\S?/  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB U!& Fe,F]  
G#{/&I <  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =:spKLlm  
>$,xg-Lpk  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8'46 85d  
b[&CkILJh  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6brfSyzX  
Ty;: H|  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   j&`!T]g!  
QX&8?qI5-  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) rmR_(RY r  
w%OdmG  
倍角公式 xdrT7cPJ"V  
iC2>{>Q  
　　Sin2A=2SinA•CosA ^GpwRB]   
S#a)9/v}LF  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 l_Kj@-dR<Q  
|dX5 l8  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -]AS0tE:  
P&njV4B"1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） v6%b::  
/y %X:gW  
三倍角公式 9?\~m T<`'  
8h! Er8Dz  
　　 >R[>Y<?  
mq{7.'k'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) lNS Yk"  
*wn~$6  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) B.%>x  
/7iDN  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2 N*)E-wf  
9(D?ZtM)L  
三倍角公式推导 6YViN2  
&E[q1Y?V"  
　　sin3a 6l@|iE  
;p4BiL'Z  
　　=sin(2a+a) :jPC# $5U?  
ZpG X|  
　　=sin2acosa+cos2asina ng8[8  
3%7&IMP"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ;CdMr^G.h  
; Qo  
　　=3sina-4sin³a /^zUZbzZX  
=0T;_E.~  
　　cos3a Izl+j-eO:G  
u7_\r1  
　　=cos(2a+a) ywq1wnRV  
Y!{,X#~k[  
　　=cos2acosa-sin2asina iu;4e  
]_If6)r  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa sq/~;bK  
2y9/H#Y\  
　　=4cos³a-3cosa Aj>pak&7R  
|^}&ZiX:  
　　sin3a=3sina-4sin³a bfe dV` V  
:HDO9  
　　=4sina(3/4-sin²a) a3M*Jto5  
~'m%O>  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] EqGl}(a  
QtStQK8qf  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 4$ .k1  
M W/|$Xu  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Zeiv$X  
U Vw0Y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Si[u vG  
X>x]!Nqx/  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 1T8a(lM1p  
8g.M}l8  
　　cos3a=4cos³a-3cosa .syG:fJ  
2Hw{fQ=r  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \reNNk_  
fA&5_,a  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] >I;nNmQ  
Z?qmL;V*  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $jZI_kQv  
h\)H6 Jb  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) `O!x6a?0  
T AGj*  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 1V9 !eg'  
+ ;k 6\'  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *l/D@pj;  
q@PzESoql  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] iZlzimRI  
9<2hB A4z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] n-'"9| v  
Z0XYyxsEc  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) CO@2y@Ri  
4] k>En%  
　　上述两式相比可得 wlDw(P#>  
hS("(?ol{?  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ~lTx}n/  
hY8{R?YZ  
半角公式 CR@{x@vH  
3>UM bj$~  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); v^ob1=vNc(  
_{#=S &  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Jr q)O5!t~  
rqUW)R$  
和差化积 zgM?oGw%  
:/d3nm)`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :+IY+*AN  
uQy) V|  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] G"#~w$~ fz  
,%~%,gp=bW  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {8NF0|lb  
vHl8iK"Lt  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2xtK-Feh  
AZ,w U  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) fu5(}a" M  
x> RR0(A2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) A'rwO6S*;  
+Kk7 /  
积化和差 X`.:*9/}  
(AUEg}W`s'  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] (waQwy}ES  
CB#x,;4L&  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] y-Q|.~  
|3&cKv \g  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .kL?W5e^  
CU,s?(v  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ZER^Z#{S(  
,&G' KlXD  
诱导公式 #s<=w+  
?C*.m[<  
　　sin(-α) = -sinα +TkEj?  
Sfs>&MJ2  
　　cos(-α) = cosα AF4rx^  
UH%hel  
　　sin(π/2-α) = cosα "Y6@a  
2'6O2$`  
　　cos(π/2-α) = sinα Wi3UH}Y  
JO 2QnH%  
　　sin(π/2+α) = cosα AC" D~f  
;J>ZLi  
　　cos(π/2+α) = -sinα 8.2K0e  
]H.:{%a  
　　sin(π-α) = sinα %X HTD  
)-a OY;C  
　　cos(π-α) = -cosα !l-4X=0!o  
. r  
　　sin(π+α) = -sinα J*mvz4o9  
I4 uq'r  
　　cos(π+α) = -cosα s!#fKXs  
2z "6-  
　　tanA= sinA/cosA lkSLLm  
p'x],n 1  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα AIcVcAc  
$zjQzg0  
　　tan（π/2－α）＝cotα Az(Q>+Yh  
IzQGTpXF  
　　tan（π－α）＝－tanα vWUGRU9%z  
o%D^.}l  
　　tan（π＋α）＝tanα ERw75$t  
(-/+!9  
万能公式 ?oM~FCKi0  
Z2Q5vq {  
　　 0 HT:>Q*  
"f+YHO  
其它公式 M,tj#COS  
x c_BK  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4|by=tp  
GARWA  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 q2T-Ft g  
x#U2X4H  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Z, j~\r  
W& xN.  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 eT(~QYd>D  
'\IxG&1  
　　对于任意非直角三角形,总有 P[k WUIs  
n2$pG >\(  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC j^Xj"X  
JH Qsv"I9  
　　证: Jo9]v*9  
h@EkTUGm  
　　A+B=π-C erq%p2Nw{  
y71+8Z cu  
　　tan(A+B)=tan(π-C) kwIN0A  
UhGqxLT,k  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 5XK1"  
{-~Aq`V  
　　整理可得 {>Fo==<  
&NM02S  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `a9$cP-B5  
W10S 12<  
　　得证 ~BGfyuv}  
t -;g'H^;  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 l 2>rm5rp  
~F \ A$5M8  
其他非重点三角函数 |<(FKm'\>  
2 <2Nq?u[  
　　csc(a) = 1/sin(a) <JCXfU  
'% oxI^9  
　　sec(a) = 1/cos(a) _9k^}pZWD  
F"R0z*/  
　　 7 u$*7 x  
5NMTT  
双曲函数 6$ "NjJ  
TV`e$k'(?  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 F8-1a ~8l  
#Sy0CvPuD*  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 + r!.Z/3  
]V@1&:$"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) c)H}\  
ko7z  
　　公式一： faWZJMDIz  
.3U>|  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： vljv3bfY  
Fk]'+su  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =%q mikyd  
wu`(EhqEd  
　　cos（2kπ＋α）= cosα lk{*wT  
w,E!j>zi=  
　　tan（kπ＋α）= tanα s:BL%bv5  
0n=)&\.v  
　　cot（kπ＋α）= cotα fA>5EvY6  
R^FPtd34L  
　　公式二： 'AT5|q v  
8^pI*[=  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： CnbGB.f  
ve)YU4v  
　　sin（π＋α）= -sinα J`Q0S) Dan  
cL ]Zr?  
　　cos（π＋α）= -cosα NK:#c="  
$S%nJKdT  
　　tan（π＋α）= tanα '8,IXlrJh  
%`?rs\$8  
　　cot（π＋α）= cotα 6uw\)JzK  
s&e<kV\XJ  
　　公式三： VrExvo"lR  
=?A H%W  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： p#"X_G<9}  
okuD`v  
　　sin（-α）= -sinα v.G6V`o,  
BRH"9Q]  
　　cos（-α）= cosα bSY_kkn(  
cZ;~`3rN  
　　tan（-α）= -tanα <!0oD| 5  
.\R t`PC  
　　cot（-α）= -cotα 8X[TxG :;  
+3C[ 3   
　　公式四： ^9t3N 0  
nA beA&s4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： /2DoPG  
P?_*H6^Q,,  
　　sin（π-α）= sinα Wj^1?tI  
GeUCm2M-  
　　cos（π-α）= -cosα O^{ uL|h*  
EGrKl ]!cX  
　　tan（π-α）= -tanα "6\`veQ@w  
?b=XB0 d<  
　　cot（π-α）= -cotα 07Kvot}W{  
9U#KF+]D  
　　公式五： F7|PDd3+  
OZP7fd^ o  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： B**`y LJ#M  
\*QHCgyP  
　　sin（2π-α）= -sinα \t3$ZCj)  
PB{#6WNX  
　　cos（2π-α）= cosα X"l|3rj[  
~)Z~dNp  
　　tan（2π-α）= -tanα [p4U=p_l  
<|#or#X  
　　cot（2π-α）= -cotα q<Mn* f  
%Ha.E +:l  
　　公式六： 1\I,[lC  
qp-"lw ;  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： XJXYatW=p  
YPO&RO7np  
　　sin（π/2+α）= cosα Bee@0'@l %  
G4Yq2I  
　　cos（π/2+α）= -sinα {?J:xJ   
9aBhrb[D  
　　tan（π/2+α）= -cotα }'qxdhf7a  
HGEh /Vg  
　　cot（π/2+α）= -tanα X0U 2:t]  
W<Jg84)=/  
　　sin（π/2-α）= cosα R(}}lBz  
EE9Rli[9  
　　cos（π/2-α）= sinα y}~h4b|A  
JBwGHRp$,  
　　tan（π/2-α）= cotα 2y'{Lc;  
+GSxfaI&r  
　　cot（π/2-α）= tanα gaDqB|_<l  
3x<lD&j  
　　sin（3π/2+α）= -cosα KbD@vbhE8@  
l\l$YnD9  
　　cos（3π/2+α）= sinα '' <kOn  
SZRT6, [  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Ul1 B{  
&Z(^!m0 2  
　　cot（3π/2+α）= -tanα UQ2Z94G<J  
BrvR vs  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ,I;B"n{n  
;2.UXwwR`  
　　cos（3π/2-α）= -sinα |z`<0|~q%  
k}01-n"  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1 _u()c  
<.;?M-nw  
　　cot（3π/2-α）= tanα g1#g^oLaSG  
Y=zB1kM{|  
　　(以上k∈Z) I7 f@gF%  
,!~KI8sF  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Sq~kD$?;  
|}V@[ rb,  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?TWv7G^.;  
T>;szsy=  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M3[wqWD4  
N@&g  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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